高斯19岁时尺规做出来的正十七边形

有一个定理在这里要用到的:
若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,
其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
(这一步,大家会画吧?)
而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法。
设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同样道理,长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)=b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
这样,2cos(2pai/17)是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
显然也可以做出来,并且作图的方法上面已经给出来了

1796年的一天,德国哥廷根大学,一个19岁的青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的数学题。正常情况下,青年总是在两个小时内完成这项特殊作业。  

像往常一样,前两道题目在两个小时内顺利地完成了。第三道题写在一张小纸条上,是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。青年没有在意,像做前两道题一样开始做起来。然而,做着做着,青年感到越来越吃力。  

困难激起了青年的斗志:我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去解这道题。当窗口露出一丝曙光时,青年长舒了一口气,他终于做出了这道难题。  

作业交给导师后,导师当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说:“这真是你自己做出来的?你知不知道,你解开了一道有两千多年历史的数学悬案?阿基米德没有解出来,牛顿也没有解出来,你竟然一个晚上就解出来了!你真是天才!我最近正在研究这道难题,昨天给你布置题目时,不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。”  

多年以后,这个青年回忆起这一幕时,总是说:“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我不可能在一个晚上解决它。”  

这个青年就是数学王子高斯。  

不知者无畏。
每个内角148.235671174度
高斯指出,如果仅用圆规和直尺,作圆内接正n边形,当n满足如下特征之一方可做出:

  1) n=2m;( 为正整数)

  2) 边数n为素数且形如 n=22t(t+1=0 、1、2……)。简单说,为费马素数。

  3) 边数 n具有n=2mp1p2p3…pk ,其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数。

  由高斯的结论,具有素数p条边的正多边形可用尺规作图的必要条件是p为费马数。由于我们现在得到的费马素数只有前五个费马数,那么可用尺规作图完成的正素数边形就只有3、5、17、257、65537。进一步,可以做出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到。这样的组合数只有31种。而边数为偶数的可尺规做出的正多边形,边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数相结合而得到。

  就这样,正多边形作图问题与费马数极其密切地联结在一起了!数学的一大魅力在于:看似全然无关的领域竟能以出人意料的方式彼此联系在一起。透过“数学王子”高斯的杰出发现,人们确实可以从中充分领略到数学的这种魅力。事实上,正是两者这种出乎意料的神秘结合,使人们对费马数有了更为持续不断的兴趣。

Advertisements

About 窦赞

理论物理学工作者
此条目发表在数学分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 更改 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 更改 )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 更改 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 更改 )

Connecting to %s